半线性薛定谔方程的正散射与逆散射问题

我们研究 $\mathbb{R}^d$ 中半线性薛定谔方程 $\Delta u+a(x,u)+k^2u=0$ 的正散射与逆散射问题。基于 Banach 不动点定理，我们证明了小解情形下正问题的适定性，并且该解在无穷远处具有特定的渐近行为。我们还证明了逆问题，即半线性函数 $a(x,z)$ 可由散射数据唯一确定。其思想在于某种线性化：利用带有多个参数的源，对这些参数对非线性方程求导，从而得到线性方程。