给定度数的随机 Cayley 有向图的直径

我们考虑阶数为 $n$ 且生成集大小为 $k$ 的均匀分布随机 Cayley 有向图。具体而言，我们关注当 $n\to\infty$ 且 $k=f(n)$ 时，此类 Cayley 有向图直径为 2 的概率的渐近行为。我们发现，在 $k = \sqrt{n \log n}$ 附近存在一个从 0 到 1 的尖锐相变。特别是，如果 $f(n)$ 关于 $n$ 是渐近线性的，则该概率以指数速度收敛于 1。