超几何周期矩阵的行列式

我们考察函数 $U=e^{-f_0}\prod_j^N f_j^{\alpha_j}$ 在实仿射空间上的定义，其中 $f_0,..,f_N$ 为线性函数，$\alpha_1, ..., \alpha_N$ 为复数。函数 $f_1, ..., f_N$ 的零点形成仿射空间上的一个超平面排列。我们研究与该排列和函数 $U$ 相关的超几何积分的周期矩阵，并计算其行列式作为伽玛函数与函数 $f_0,..., f_N$ 相对于排列的临界点的交替乘积。在最简单的情况下，$N=1, f_0=f_1=t$，行列式公式形式为 $\int_0^\infty e^{-t} t^{\alpha -1} dt=\Gamma (\alpha).$我们还给出 Selberg 类型指数积分的行列式公式。在这种情况下，超平面排列具有特殊性质，容纳对称性群，其周期矩阵在该对称性群在超几何积分空间上的不同表示之间的块分解。我们计算对应于平凡表示的块的行列式。