余维2光滑曲面的次数复杂度

D. Bayer和D. Mumford引入了给定项序下射影概形的次数复杂度，定义为约化Gröbner基的最大次数。众所周知，关于分次逆字典序的次数复杂度等于Castelnuovo-Mumford正则性（\cite{BS}）。然而，关于分次字典序的次数复杂度知之甚少（\cite{A}, \cite{CS}）。本文研究$\p^4$中光滑不可约曲面关于分次字典序的次数复杂度及其几何意义。有趣的是，该复杂度与曲面在一般投影下的双曲线的密切相关。作为结果，我们证明除少数情况外，$\p^4$中满足$h^0(\mathcal I_S(2))\neq 0$的$d$次光滑曲面$S$的次数复杂度由$2+\binom{\deg Y_1(S)-1}{2}-\rho_{a}(Y_{1}(S))$给出，其中$Y_1(S)$是$S$在一般投影下次数为$\binom{d-1}{2}-\rho_{a}(S \cap H)$的双曲线（定理\ref{mainthm2}）。例外情况包括有理正规滚动面、$(2,2)$型完全交曲面或$\p^4$中5次Castelnuovo曲面，其次数复杂度实际上等于它们的次数。该复杂度也可仅用$I_S$定义方程的最大次数表示（推论\ref{cor:01}和\ref{cor:02}）。我们还通过使用{\it Macaulay 2}的计算提供了说明性例子（例\ref{Exam:01}）。