凸成本最优运输问题的分解

给定一个正的下半连续凸函数$\mathtt c : \mathbb R^d \to \mathbb R^d$和运输问题$\int \mathtt c(x'-x) \pi(dxdx')$的最优运输平面$\underline{\pi}$，我们展示了如何将文献[biadan]中关于范数成本$\mathtt c= |\cdot|$的Sudakov分解存在性的结果推广到这种情况。更精确地说，我们证明了存在一个将$\mathbb R^d$划分为不相交集合族$\{S^h_\mathfrak a\}_{h,\mathfrak a}$以及$\mathrm{epi}\, \mathtt c$的适当极值面在$\mathbb R^d$上的投影$\{O^h_\mathfrak a\}_{h,\mathfrak a}$，其中$h = 0,\dots,d$且$\mathfrak a \in \mathfrak A^h \subset \mathbb R^{d-h}$，使得：- $S^h_\mathfrak a$在其仿射张成空间中相对开，且仿射维数为$h$；- $O^h_\mathfrak a$的仿射维数为$h$且平行于$S^h_\mathfrak a$；- $\mathcal L^d(\mathbb R^d \setminus \cup_{h,\mathfrak a} S^h_\mathfrak a) = 0$，并且$\mathcal L^d$关于$S^h_\mathfrak a$的分解$\mathcal L^d = \sum_h \int \xi^h_\mathfrak a \eta^h(d\mathfrak a)$具有条件概率$\xi^h_\mathfrak a \ll \mathcal H^h \llcorner_{S^h_\mathfrak a}$；- 集合$S^h_\mathfrak a$本质上是循环连通的，且不能进一步分解。最后一点用于证明最优运输映射的存在性。主要思想是将问题重新表述为$(t,x) \in [0,\infty] \times \mathbb R^d$，并采用1-齐次范数$\bar{\mathtt c}(t,x) := t \mathtt c(- \frac{x}{t})$，并将文献[biadan]的正则性估计推广到这种情况。