一般域上数值积分的维数灾难

我们证明了在最坏情形设定下，针对多类光滑函数的多元数值积分的维数灾难。我们证明当域为满足普适 $\psi_2$-估计的小直径各向同性凸体时结果成立。特别地，我们对重要的体积归一化 $\ell_p^d$-球在完整区间 $2\leq p \leq \infty$ 上获得该结果。这将 A. Hinrichs、E. Novak、M. Ullrich 与 H. Wo\'zniakowski [J. Complexity, 30(2), 117-143, 2014] 工作中的结果扩展至整个范围 $2\leq p \leq \infty$，并额外提供了统一的处理途径。证明中的关键成分是来自渐近几何分析理论的一个深刻结果，即由 O. Gu\'edon 与 E. Milman 给出的薄壳体积集中估计。本工作所揭示的渐近几何分析与基于信息的复杂性之间的联系看似大有前景，且具有独立意义。