光滑函数数值积分的维数灾难 II

我们在最坏情况设定下，证明了若干类光滑 $d$ 元函数数值积分中的维数灾难。粗略地说，我们考虑 $f \in C^k(D_d)$ 导数的不同界，并询问维数灾难是否对相应的函数类成立。我们总是假设 $D_d \subset \mathbb{R}^d$ 的体积为一，并考虑 $k$ 的各种取值，包括对应于无穷次可微函数的 $k=\infty$ 情形。我们获得了维数灾难的充要条件，并在某些情况下给出了完整的刻画。对于无穷次可微函数，若连续导数的界适当大，我们证明了维数灾难的存在。证明技术基于对 $n$ 个点凸包邻域的体积估计，当 $n$ 相对于 $d$ 较小时，该体积呈指数级快速衰减。对于 $k=\infty$，我们还研究了拟多项式、弱和一致弱可处理性的条件。