光滑函数数值积分的维数灾难

我们证明了 $C^r$ 函数多元积分的维数灾难：为实现误差 $\epsilon$，所需的函数值数量大于 $c_r (1+\gamma)^d$（其中 $\epsilon\le \epsilon_0$，$c_r,\gamma>0$，$d$ 为维数）。证明基于 $r=1$ 时的体积估计以及通过卷积进行的光滑化处理。这使我们能够为 $r>1$ 获得光滑的欺骗函数 (fooling functions)。