通过蒙特卡洛方法打破希尔伯特空间中一致逼近的维数灾难

我们研究从希尔伯特空间中的 $d$ 变函数经线性泛函作为信息的 $L_{\infty}$-逼近。在可处理性研究中一个常见现象是：未加权问题（各维同等重要）在确定性情形下遭受维数灾难，即为了在给定精度 $\varepsilon > 0$ 内求解问题所需的信息数量 $n(\varepsilon,d)$ 随 $d$ 指数增长。我们证明，对于周期张量积空间中的某些逼近问题，特别是光滑度 $r > 1/2$ 的 Korobov 空间，切换到随机化情形可以打破维数灾难，从而具有多项式可处理性，即 $n(\varepsilon,d) \preceq \varepsilon^{-2} \, d \, (1 + \log d)$。迄今为止，蒙特卡洛方法在可处理性方面的类似益处仅见于积分问题。