Potts模型协方差矩阵：基于随机簇的分析

我们考虑 d 维 q 状态 Potts 模型的协方差矩阵 $G^{mn}(x-y)$，将其表述为连通性、有限簇连通性和无限簇协方差在 Fortuin 和 Kasteleyn 的随机簇表示中的形式。在模型的任意 q 有序相中，我们展示矩阵 $G^{mn}(x-y)$具有平凡特征值 0，一个简特征值 $G_{\wir}^{(1)}(x-y)$以及一个 ($q-2$)-重简化特征值 $G_{\wir}^{(2)}(x-y)$。此外，我们以该模型未破坏对称群的表示形式以及连通性和簇协方差的形式来识别这些特征值，从而赋予这些随机几何量以代数意义。在建立相关长度 $\xi_{\wir}^{(1)}$ 和 $\xi_{\wir}^{(2)}$ 对应于 $G_{\wir}^{(1)}(x-y)$ 和 $G_{\wir}^{(2)}(x-y)$ 的同时，我们表明 $\xi_{\wir}^{(1)}(\beta)\geq \xi_{\wir}^{(2)}(\beta)$ 对所有反温度 $\beta$ 均成立。对于维数 $d=2$ 且 $q \geq 1$，我们建立了 $\xi_{\wir}^{(2)}$ 和 $\xi_{\free}$ 之间的二门性关系：我们表明 $\xi_{\wir}^{(2)}(\beta) = \frac{1}{2} \xi_{\free}(\beta^\ast)$ 对所有 $\beta \geq \beta_o$ 成立，其中 $\beta^\ast$ 为对偶反温度，$\beta_o$ 为自旋点。为了证明上述结果，我们引入了两个新的不等式。第一个类似于 FKG 不等式，但适用于既非增也非减的事件，并取代标准 percolation 模型中的独立性；第二个取代 van den Berg - Kesten 不等式。