Gleason 定理在四元数 Hilbert 空间中的正确表述

从初等命题正交模格理论的观点出发，正如 Solèr 定理所确立的那样，量子理论可以在实、复或四元数 Hilbert 空间中表述。上述格最终与 R、C 或四元数代数 H 上的可分 Hilbert 空间中所有正交投影算子的格重合。量子态是该非布尔格上的 $\sigma$-可加概率测度。Gleason 定理证明，如果 Hilbert 空间是维数大于 2 的可分空间，且为实或复 Hilbert 空间，则态与标准密度矩阵（自伴、正定、迹为 1 的迹类算子）一一对应。Varadarajan 于 1968 年获得了该结果向四元数 Hilbert 空间的推广。遗憾的是，尽管证明的困难部分是正确的，但该推广的表述在数学上是不正确的。这是由于四元数 Hilbert 空间中迹概念的某些独特性质（例如基依赖性），使得四元数 Hilbert 空间中的迹类算子理论不同于实和复 Hilbert 空间中的标准理论。一个次要问题也影响了 Varadarajan 关于实 Hilbert 空间表述的陈述。本文主要致力于将 Gleason-Varadarajan 定理呈现为适用于这三种类型 Hilbert 空间的、技术上正确的形式。在发展了（一般不可分的）四元数 Hilbert 空间中迹类算子的部分一般数学技术之后，我们证明了只有迹的实部进入量子理论的形式体系（也处理了无界可观测量和对称性），并且可以安全地用它来表述和证明 Gleason 定理的一个通用陈述。