阿贝尔-循环群的共轭比率

设 $G = K \rtimes \langle t \rangle$ 为一个有限生成群，其中 $K$ 是阿贝尔群，$\langle t\rangle$ 是无限循环群。设 $R$ 为 $K$ 的一个有限对称子集，使得 $S = \{ (r,1),(0,t^{\pm 1}) \mid r \in R \}$ 是 $G$ 的生成集。我们证明 $G$ 关于 $S$ 的球形共轭比率，因此共轭比率，为零，除非 $G$ 是几乎阿贝尔的，从而证实了 Ciobanu、Cox 和 Martino 在此情形下的猜想。我们还证明 Baumslag--Solitar 群 $\mathrm{BS}(1,2)$ 存在一个单侧 F{\o}lner 序列 $F$，使得关于 $F$ 的共轭比率非零，尽管 $\mathrm{BS}(1,2)$ 不是几乎阿贝尔的。这与 Tointon 证明的关于双侧 F{\o}lner 序列的结果形成对比：关于双侧 F{\o}lner 序列的共轭比率为正当且仅当该群是几乎阿贝尔的。