无解整数集合的复杂性
组合数学
2018-12-24 v1
摘要
给定线性方程 L，整数集合 A 称为 L-自由的，若 A 不包含 L 的任何非平凡解。Meeks 和 Treglown 证明，对于某些类型的线性方程，判定给定整数集合是否包含给定大小的无解子集是 NP-完全的。此外，对于涉及三个变量的方程，他们证明了确定最大无解子集大小的问题是 APX-难的，并且对于两个此类方程（分别表示无和集与无等差数列集），判定是否存在包含至少指定比例元素的无解子集也是 NP-完全的。我们通过将上述结果推广到所有线性方程，并证明对于元素大小以集合大小的多项式为界的整数集合，这些问题仍然困难，从而回答了 Meeks 和 Treglown 提出的若干疑问。对于其中大多数结果，只要系数不全同号，整数可以全为正。我们还考虑了计数给定集合的无解子集数的问题，并证明对于任意至少三个变量的线性方程，该问题是 #P-完全的。
引用
@article{arxiv.1812.09259,
title = {The complexity of solution-free sets of integers},
author = {Keith J. Edwards and Steven D. Noble},
journal= {arXiv preprint arXiv:1812.09259},
year = {2018}
}
备注
29 pages. arXiv admin note: text overlap with arXiv:1704.03758 by other authors