$S^{2n}$ 上的复结构

设 $\widetilde{\cal J}(S^{2n})$ 为 $TS^{2n}$ 上正交复结构的集合。我们证明 twistor 空间 $\widetilde{\cal J}(S^{2n})$ 是 Kaehler 流形。进而我们证明 $S^{2n}$ 上的正交殆复结构 $J_f$ 可积当且仅当对应截面 $f\colon\; S^{2n}\to \widetilde{\cal J}(S^{2n})$ 是全纯的。这些表明当 $n>1$ 时球面 $S^{2n}$ 上不存在可积正交复结构。我们还证明了在 $\widetilde{\cal J}(S^{2n})$ 空间的邻域内不存在复结构。方法是研究 $T^{(1,0)}S^{2n}$ 的第一陈类。