K3 曲面上一般稳定层的上同调

设 $X$ 为一个 K3 曲面，其 Picard 群为 $\mathrm{Pic}(X)\cong\mathbb{Z} H$ 且 $H^2=2n$。令 $M_{H}(\mathbf{v})$ 为 $X$ 上 Mukai 向量 $\mathbf{v}$ 的 Gieseker 半稳定层模空间。若 $M_{H}(\mathbf{v})$ 中的一般层至多有一个非零上同调群，则称 $\mathbf{v}$ 满足弱 Brill-Noether 性质。我们证明，给定任意秩 $r \geq 2$，在 Picard 秩为一的 K3 曲面上，使弱 Brill-Noether 性质不成立的秩为 $r$ 的 Mukai 向量只有有限多个。我们给出了寻找潜在反例的算法，并明确分类了秩至 20 以内的所有此类反例。此外，在每种情况下我们计算了一般层的上同调。给定 $r$，我们给出了保证 $\mathbf{v}=(r,dH,a)$ 满足弱 Brill-Noether 性质的 $n$、$d$ 和 $a$ 的紧界。作为推论，我们获得了 Picard 秩为一的 K3 曲面上 Ulrich 丛分类的另一种证明。另外，我们讨论了 $M_H(\mathbf{v})$ 中一般层何时整体生成的问题。我们的技术关键性地使用了 Bridgeland 稳定性条件。