多面体的弦长分布

我们证明了任意有界多面体的弦长分布函数 $\gamma"(r)$ 具有初等的代数形式，其表达式在 $r$ 范围的不同子域内发生变化。在每一个子域中，$\gamma"(r)$ 的表达式仅包含作为超越贡献的反三角函数，其自变量等于 $R[r,\,\Delta_1]$，其中 $\Delta_1$ 是一个二次 $r$-多项式的平方根，$R[x,y]$ 是一个有理函数。此外，当 $r$ 趋近每个 $r$-子域的一个边界点（$\delta$）时，$\gamma"(r)$ 的导数只能表现出形式为 $(r-\delta)^{-n}$ 和 $(r-\delta)^{-m+1/2}$ 的奇异性，其中 $n$ 和 $m$ 为适当的正整数。最后，还给出了原函数的显式代数表达式。