Chazy XII方程与Schwarz三角形函数

Dubrovin [Lecture Notes in Math., Vol. 1620, Springer, Berlin, 1996, 120-348] 证明了 Chazy XII 方程 $y'''- 2yy''+3y'^2 = K(6y'-y^2)^2$，$K \in \mathbb{C}$，等价于具有射影结构的一维复流形上仿射联络的射影不变方程。通过利用这一几何联系，本文证明对于某些 $K$ 值，Chazy XII 解可表示为 $y=a_1w_1+a_2w_2+a_3w_3$，其中 $w_i$ 求解广义 Darboux-Halphen 系统。该关系仅对系数 $(a_1,a_2,a_3)$ 与 Darboux-Halphen 参数 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 的某些值成立，这些值在表 2 中列举。因此，Chazy XII 解 $y(z)$ 由一类特殊的 Schwarz 三角形函数 $S(\alpha, \beta, \gamma; z)$ 参数化，这些函数用于表示 Darboux-Halphen 系统的解 $w_i$。本文仅考虑 $\alpha+\beta+\gamma<1$ 的情形。相关的三角形函数之间经由有理映射相互联系，这些映射源于超几何函数的经典代数变换。本文还证明 Chazy XII 方程等价于一个三元组 $(\hat{P}, \hat{Q},\hat{R})$ 的 Ramanujan 型微分系统。