Schwarz 三角函数与广义 Chazy 方程某些参数的对偶性

Schwarz 三角函数在广义 Chazy 方程的解中起着基本作用。Chazy 已证明，对于参数 $k=2$ 和 $3$，该方程可被线性化。我们确定了在这些情形下表示解的 Schwarz 三角函数。其中部分 Schwarz 三角函数也出现在 $k=\frac{2}{3}$ 和 $k=\frac{3}{2}$ 的对偶情形中，这暗示了 $k=2$ 和 $k=3$（分别具有二面体对称性和四面体对称性）的解与 $k=\frac{2}{3}, \frac{3}{2}$（具有 $G_2$ 对称性）的解之间存在耐人寻味的联系。通过对 $k=\frac{2}{3}$ 时的解进行积分，我们得到了由相应的 Schwarz 三角函数进行代数参数化的平坦 $(2,3,5)$-分布。这些曲线的 Legendre 对偶也是代数的，可以相当容易地计算，并且与参数为 $\frac{3}{2}$ 的对偶广义 Chazy 方程的积分曲线相关。