与对数拉普拉斯算子相关的柯西问题及其在基本解上的应用

设 $\lnlap$ 为傅里叶符号为 $2\ln |\zeta|$ 的对数拉普拉斯算子，我们研究如下方程所关联的扩散核表达式：$$\partial_tu+ \lnlap u=0 \ \ {\rm in}\ \, (0,\tfrac N2) \times \R^N,\quad\quad u(0,\cdot)=0\ \ {\rm in}\ \, \R^N\setminus \{0\}.$$ 我们将结果应用于如下方程的解的分类：$$\left\{ \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} \displaystyle \partial_tu+ \lnlap u=0\quad \ &{\rm in}\ \ (0,T)\times \R^N\[2.5mm] \phantom{ \lnlap \ \, } \displaystyle u(0,\cdot)=f\quad \ &{\rm{in}}\ \ \R^N \end{array} \right.$$ 并得到其在 $\R^N$ 中相应稳态方程的基本解，以及在有界域中基本解的表达式，即 $$\lnlap u=k\delta_0\quad {\rm in}\ \ \cD'(\Omega)\quad \text{such that }\,u=0\quad {\rm in}\ \ \R^N\setminus\Omega.$$