Carathéodory-Fejér 插值问题与 von-Neumann 不等式

对于 $n\geq 3$，交换 $n$ 元 $3\times 3$ 矩阵的 von-Neumann 不等式是否成立仍然是一个开放问题。我们给出了该问题的部分答案，并以此获得了多圆盘 $\mathbb D^n$ 上 Carathéodory-Fejér 插值问题的一个必要条件。在 $n=2$ 的特殊情形下（亦可由 Ando 定理推出），该必要条件被具体化。通过改编 Korányi 和 Pukánzsky 的定理，我们给出了 $n=2$ 特殊情形下 Carathéodory-Fejér 插值问题的另一种方法。作为推论，我们分离出了一类多项式，对于这类多项式，Carathéodory-Fejér 插值问题的完整解可以容易地获得。$H^2(\mathbb T^2)$ 的 Hardy 空间上 Hankel 算子的一种自然推广随之变得显而易见。我们的许多结果对任意 $n\in \mathbb N$ 依然成立，然而，对于 $n>2$ 的计算有些繁琐，因此被省略。不等式 $\lim_{n\to \infty}C_2(n)\leq 2 K^\mathbb C_G$（其中 $K_G^\mathbb C$ 是复 Grothendieck 常数，且 $$C_2(n)=\sup\big\{\|p(\boldsymbol T)\|:\|p\|_{\mathbb D^n,\infty}\leq 1, \|\boldsymbol T\|_{\infty} \leq 1 \big\}$$）归功于 Varopoulos。此处上确界取自所有次数至多为 2 的 $n$ 元复多项式 $p$ 以及压缩算子的交换 $n$ 元组 $\boldsymbol T:=(T_1,\ldots,T_n)$。我们证明了 $$\lim_{n\to \infty}C_2(n)\leq \frac{3\sqrt{3}}{4} K^\mathbb C_G$$ 从而对 Varopoulos 的不等式做出了微小改进。我们证明了赋范线性空间 $\ell^1(n)$（$n>1$）无法等距嵌入任何 $k\times k$ 复矩阵（对于任意 $k\in \mathbb N$），并讨论了其上的几种无穷维算子空间结构。