Callias指标公式重探

我们重温奇数空间维数 $n$ 中 Dirac 型算子 $L$ 的 Callias 指标公式，并证明 \begin{align} \text{ind} \, (L) =\bigg(\frac{i}{8\pi}\bigg)^{\frac{n-1}{2}}\frac{1}{2(\frac{n-1}{2})!} \lim_{\Lambda \to\infty}\frac{1}{\Lambda }\sum_{i_{1},\dots,i_{n} = 1}^n \varepsilon_{i_{1}\dots i_{n}} \int_{\Lambda S_{n-1}}\text{tr}_{\mathbb{C}^d}\, (U(x)(\partial_{i_{1}}U)(x)\dots (\partial_{i_{n-1}}U)(x)) x_{i_{n}}\, d^{n-1} \sigma(x), \, (*) \end{align} 其中 $U(x) = \text{sgn} \,(\Phi(x))$ 且 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})^{2^{\widehat n}d}$ 中的 $L$ 形式为 $$L= \mathcal{Q} + \Phi,$$ 其中 $$\mathcal{Q} = \bigg(\sum_{j=1}^{n}\gamma_{j,n}\partial_{j}\bigg) I_d,$$ 其中 $\gamma_{j,n}$ 为欧氏 Dirac 代数元素，且 $n=2{\widehat n}$ 或 $n=2{\widehat n}+1$。此处假定 $\Phi$ 满足以下条件：\begin{align} & \Phi\in C_{b}^{2}\big(\mathbb{R}^{n};\mathbb{C}^{d\times d}\big), \quad d \in \mathbb{N}, \\ & \Phi(x)=\Phi(x)^{*}, \end{align} 存在 $c>0$, $R\geq0$ 使得 $$|\Phi(x)|\geq c I_d, \quad x\in\mathbb{R}^{n}\backslash B(0,R),$$ 且存在 $\varepsilon> 1/2$ 使得对所有 $\alpha\in\mathbb{N}_{0}^{n}$, $|\alpha|<3$, 存在 $\kappa>0$ 使得 $$\|(\partial^{\alpha}\Phi)(x)\|\leq \begin{cases} \kappa (1+|x|)^{-1}, & |\alpha|=1,\\ \kappa (1+ |x|)^{-1-\varepsilon}, & |\alpha|=2, \end{cases}\quad x\in\mathbb{R}^{n}.$$ 这些关于 $\Phi$ 的条件使 $L$ 成为 Fredholm 算子，并且似乎是迄今为止推导 Callias 指标公式已知的最一般条件。还讨论了将指标公式 $(*)$ 推广到某些非 Fredholm 算子 $L$ 类，并借助 (广义) Witten 指标。