Boros-Moll 序列的 Briggs 不等式

Briggs 猜想，若具有实系数的多项式 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ 仅具有负零点，则对于任意 $1\leq k\leq n-1$，有 $$a^2_k(a^2_k - a_{k-1}a_{k+1}) > a^2_{k-1}(a^2_{k+1} - a_ka_{k+2})$$。Boros-Moll 序列 $\{d_i(m)\}_{i=0}^m$ 产生于某些四次积分的求值研究中，并且已获得了许多关于该序列的有趣不等式。在本文中，我们证明了 Boros-Moll 序列 $\{d_i(m)\}_{i=0}^m$、其归一化形式 $\{d_i(m)/i!\}_{i=0}^m$ 及其转置 $\{d_i(m)\}_{m\ge i}$ 均满足 Briggs 不等式。对于前两个序列，我们利用 Chen 和 Gu 给出的 $(d_{i-1}(m)d_{i+1}(m))/d_i^2(m)$ 的下界以及 Zhao 给出的上界证明了 Briggs 不等式。对于转置序列，我们通过建立其严格比率对数凸性导出了 Briggs 不等式。作为推论，我们还获得了序列 $\{\sqrt[n]{d_i(i+n)}\}_{n\ge 1}$（其中 $i\ge 1$）的严格对数凸性。