Bourgain-Tzafriri 猜想与非可铺砌投影的具体构造

已知 Kadison-Singer 问题 (KS) 与铺砌猜想 (PC) 等价于 Bourgain-Tzafriri 猜想 (BT)。此外，已知具有常数对角线 $1/2$ 的 $2$-铺砌投影不满足 (PC)。但对该事实的证明均为存在性证明。我们将使用离散 Fourier 变换矩阵的变体来构造此类投影以及具有常数对角线 $1/r$ 的投影的具体例子，并在极强意义下证明它们是非 $r$-可铺砌的。1989 年，Bourgain 和 Tzafriri 证明了具有小元素（对于 $n$ 维 Hilbert 空间，量级为 $\le 1/log^{1+\epsilon}n$）的零对角矩阵类是可铺砌的。人们一直假设该结果对 BT 猜想也成立——尽管从未有人正式验证过。我们将证明情况并非如此。我们将证明，如果 BT 猜想对于具有小系数（量级为 $\le C/\sqrt{n}$）的向量成立，则 BT 猜想成立，从而 KS 和 PC 成立。