Hecke 三角群 $G_q$ 的 Boca-Cobeli-Zaharescu 映射类比

第 $Q$ 层的 Farey 序列 $\mathcal{F}(Q)$ 是 $[0, 1]$ 中分母不超过 $Q$ 的不可约分数按大小递增排列的序列。存在一个简单的“下一项”算法，用于按递增或递减顺序生成 $\mathcal{F}(Q)$ 的元素。该算法连同 Farey 序列的若干其他性质，被 F. Boca、C. Cobeli 和 A. Zaharescu 编码为如今所称的 Boca-Cobeli-Zaharescu（BCZ）映射，并用于攻克若干可用 Farey 序列子集的统计来描述的问题。本文中，我们从所述轨道的 Stern-Brocot 树类比出发，推导了 Hecke 三角群 $G_q$ 在平面 $\mathbb{R}^2$ 上线性作用的离散轨道 $\Lambda_q = G_q(1, 0)^T$ 的 Boca-Cobeli-Zaharescu 映射类比。我们推导了按斜率递增顺序在竖直条带中生成 $\Lambda_q$ 元素的下一项算法，并给出了若干关于 $\Lambda_q$ 统计的应用。