通过Newton多面体看Bieri-Neumann-Strebel不变量

我们研究了定义在扭曲Laurent多项式环上的方阵行列式的Newton多面体。我们证明此类Newton多面体是单个多面体（而非两个多面体的形式差）；这一结果可类比于交换Laurent多项式环上矩阵的行列式本身为多项式而非有理函数的事实。我们还展示了Newton多面体与矩阵在Novikov环上可逆性之间的关系，从而通过Sikorav的一个定理建立了与Bieri-Neumann-Strebel（BNS）不变量的联系。我们给出了若干应用：重新证明了Thurston关于存在控制$3$-流形群BNS不变量的多面体的定理；我们将该结果推广至自由-by-循环群，以及更一般的自由群的下降HNN扩张。我们还证明了当假定为agrarian（即其整群环嵌入于斜域）时，维数$3$的$\mathtt{F}$型Poincar\'e对偶群与亏格为1的群的BNS不变量由多面体决定。后一结果部分证实了Friedl的一个猜想。我们还推导了满足Atiyah猜想的许多群的Whitehead群元素所关联Newton多面体的消失。我们借此表明Friedl-L"uck的$L^2$-挠率多面体在同伦下不变。我们证明了该多面体在顺从性存在时消失，从而证明了Friedl-L"uck-Tillmann的一个猜想。