根算子代数的双对偶可以是半单的

S. Gulick的论文[Sidney (Denny) L. Gulick, Commutativity and ideals in the biduals of topological algebras, Pacific J. Math 18 No. 1, 1966]包含一些好的数学内容，但也包含一个错误。它声称对于巴拿赫代数A，A**的雅各布森根与A的交集恰好是A的根（这是对A**上的两种阿伦斯乘积都声称的——本身是一个合理的声称，因为A总是包含在A**的拓扑中心中，所以A中固定的a位于具有第一种阿伦斯乘积的A**的根中当且仅当它位于该巴拿赫空间赋予第二种阿伦斯乘积时的A**的根中，当且仅当对每个b∈A**，ab是拟幂零的）。在本文中，我们首先给出该声称的一个简单反例，其中A是根算子代数，但并非A的每个元素都位于A**的根中。然后我们构造一个更复杂的例子A，它同样是根算子代数，但A**是半单的。因此rad A** ∩ A为零，但rad A=A。最后，我们考察Gulick的论文自1966年以来被引用的情形（至少后续有8篇论文引用它），我们发现大多数作者使用了该论文中正确的材料，并避免了使用错误的结果。因此，我们认为我们并非第一个怀疑结果rad A** ∩ A=rad A是错误的；但我们相信我们是第一个提供如上所述的“简洁”反例的。