重访 Bartle-Dunford-Schwartz 与 Dinculeanu-Singer 定理

设 $X$ 和 $Y$ 为 Banach 空间，$\Omega$ 为紧 Hausdorff 空间。记 $\mathcal{C}_{p}(\Omega,X)$ 为 $p$-连续 $X$-值函数空间，$1\leq p\leq \infty$。对于算子 $S\in\mathcal{L}(\mathcal{C}(\Omega),\mathcal{L}(X,Y))$ 与 $U\in\mathcal{L}(\mathcal{C}_{p}(\Omega,X),Y)$，我们针对向量测度 $m:\Sigma\rightarrow \mathcal{L}(X,Y^{**})$ 建立了积分表示定理，其中 $\Sigma$ 表示 $\Omega$ 的 Borel 子集的 $\sigma$-代数。第一个定理推广了经典的 Bartle-Dunford-Schwartz 表示定理。它被用于证明第二个定理，该定理推广了经典的 Dinculeanu-Singer 表示定理，并为其提供了一个更简单的替代证明。对于后者（也是主要结果），我们基于向量测度 $m:\Sigma\rightarrow \mathcal{L}(X,Y^{**})$ 的 $q$-半变分（$q$-semivariation，$1\leq q\leq \infty$）这一新概念构建了所需的积分理论。