自由群环的公理化

在 [FGRS1,FGRS2] 中，考察了群环 $R[G]$ 的泛理论与初等理论以及相应群 $G$ 和环 $R$ 的泛理论与初等理论之间的关系。此处我们假设 $R$ 是一个含单位元 $1 \ne 0$ 的交换环。当然，这些是相对于群、环和群环各自的适当逻辑语言 $L_0,L_1,L_2$ 而言的。在 [FGRS1] 中给出了这些的公理系统。在 [FGRS1] 中证明了若 $R[G]$ 关于 $L_{2}$ 与 $S[H]$ 初等等价，则同时群 $G$ 关于 $L_{0}$ 与群 $H$ 初等等价，且环 $R$ 关于 $L_{1}$ 与环 $S$ 初等等价。我们随后令 $F$ 为秩 $2$ 自由群，$\mathbb{Z}$ 为整数环。考察自由群环 ${\mathbb Z}[F]$ 的泛理论时，提出了一个模糊猜想：在 ${\mathbb Z}[F]$ 中为真的泛语句恰是为群环理论适当修改后的在 $F$ 中为真的泛语句，反之在 $F$ 中为真的泛语句是为群理论适当修改后的在 ${\mathbb Z}[F]$ 中为真的泛语句。本文中我们针对 ${\mathbb Z}[F]$ 的公理系统证明了该猜想成立。