决定性公理蕴含小鼠中的依赖选择公理

我们证明，在可数可迭代的被动前小鼠 $\mathcal{M}$ 中，依赖选择公理 $\operatorname{DC}$ 成立；此类小鼠由其实数构造而来，并在 $\operatorname{ZF}+\operatorname{DC}_{\mathbb{R}^{\mathcal{M}}}$ 背景宇宙中满足决定性公理 $\operatorname{AD}$。这推广了Kechris关于 $L(\mathbb{R})$ 的论证，该论证使用了Steel对小鼠中标度的分析。特别地，我们证明对任意 $n \leq \omega$ 以及任意实数可数集 $A$，只要 $M_n(A) \cap \mathbb{R} = A$ 且 $M_n(A) \vDash \operatorname{AD}$，就有 $M_n(A) \vDash \operatorname{DC}$。