凸集与选择公理

在 ZF 公理体系下，我们证明：每个实向量空间的每个子集都有最大凸子集，这一命题等价于选择公理。我们还研究了该命题在特定实向量空间上的强度。特别地，我们证明：针对 $\mathbb{R}^2$ 的该命题等价于实数的可数选择公理，而针对 $\mathbb{R}^3$ 的该命题等价于均匀化公理。我们也讨论了更高维空间上的该命题。