阶乘的渐近展开与拉格朗日反演公式
经典分析与常微分方程
2010-02-23 v1 组合数学
摘要
我们获得了自然数阶乘渐近展开系数的显式简单公式，该公式以初等函数幂的导数表示。已知的唯一显式系数表达式出现在L. Comtet的书中，该表达式以第一类关联斯特林数的和给出。通过考虑第二类关联斯特林数的二元生成函数，我们的分析还得到了另一个用它们表示的系数表达式。与Comtet表达式的比较得出了第一类和第二类关联斯特林数之间的组合恒等式。这通过类比提出了另一种可能的系数公式，该公式涉及一个包含对数的函数，并且实际上被证明是正确的。所得的系数，以及前几个系数，通过拉格朗日反演公式被识别为一对形式级数的逆的奇系数，这也使我们能够获得一些递推关系。
引用
@article{arxiv.1002.3894,
title = {The asymptotic expansion for the factorial and Lagrange inversion formula},
author = {Stella Brassesco and Miguel A. Méndez},
journal= {arXiv preprint arXiv:1002.3894},
year = {2010}
}
备注
19 pages