BIBD 嵌套的渐近存在性

一个 $(v,k,\lambda)$-BIBD $(X,\mathcal B)$ 可以被嵌套，如果存在一个映射 $\phi:\mathcal B\rightarrow X$ 使得 $(X,\{B\cup\{\phi(B)\}\mid B\in\mathcal B\})$ 是一个 $(v,k+1,\lambda+1)$-packing。如果一个 $(v,k,\lambda)$-BIBD 具有（完美）嵌套，当且仅当其关联图具有 $v$ 种颜色的和谐（精确）着色。本文证明，给定任意正整数 $k$ 和 $\lambda$，若 $k\geq 2\lambda+2$，则对于足够大的 $v$，每个 $(v,k,\lambda)$-BIBD 都可以嵌入到 $(v,k+1,\lambda+1)$-packing 中；若 $k=2\lambda+1$，则对于满足 $v \equiv 1 \pmod {2k}$ 的足够大的 $v$，存在一个具有完美嵌套的 $(v,k,\lambda)$-BIBD。班巴差分族（BDF）作为一种特殊的差分族（DF），可用于生成嵌套设计。本文表明，如果 $G$ 是一个规模较大的有限阿贝尔群，其 $2$ 阶元素个数不超过给定常数，且 $k\geq 2\lambda+2$，则可通过取任意 $(G,k,\lambda)$-DF 并将其每个基块替换为合适的平移来获得 $(G,k,\lambda)$-BDF。这是一个类似 Nov\'a{k} 的定理。Nov\'a{k} 于 1974 年推测，对任意顺序为 $v$ 的循环 Steiner 三分系统，总能从每个块轨道中选择一个块，使得所选块两两不相交。Nov\'a{k} 的猜想被推广到任意循环 $(v,k,\lambda)$-BIBD 上，由 Feng、Horsley 和 Wang 在 2021 年提出，他们推测给定任意正整数 $k$ 和 $\lambda$ 使得 $k\geq \lambda+1$，则存在整数 $v_0$，使得对于任意 $v\geq v_0$ 的循环 $(v,k,\lambda)$-BIBD，总能从每个块轨道中选择一个块，使得所选块两两不相交。本文证实了该猜想对每个 $k\geq \lambda+2$ 均成立。