Fermat 四次曲线一个扭曲线的算术

我们研究由 $X^4 + Y^4 + Z^4 = 0$ 定义的 Fermat 四次曲线扭曲线的算术，该曲线没有 $\mathbb{Q}$-有理点。我们显式计算了 Jacobian 簇的 Mordell--Weil 群。我们证明 Picard 群的零次部分是一个秩为 $2$ 的自由 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-模，而 Mordell--Weil 群是一个秩为 $3$ 的自由 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-模。因此相对 Brauer 群是非平凡的。我们还证明该四次曲线违背了线性行列式表示的整体-局部性质。