关于有限群 OD-刻画的一个问题与两个猜想的解答

在 [Akbari 和 Moghaddamfar, Recognizing by order and degree pattern of some projective special linear groups, {\it Internat. J. Algebra Comput.}, 2012] 中，作者提出了以下问题：\ {\bf 问题。} {\it 是否存在一个简单群是$k$-重 OD-可刻画的，其中$k\geq3$？} 在本文中，作为主要结果，我们对上述问题给出了肯定回答，并引入了两个$k$-重 OD-可刻画的简单群，满足$k\geq6$。此外，在 [R. Kogani-Moghadam 和 A. R. Moghaddamfar, Groups with the same order and degree pattern, {\it Science China Mathematics}, 2012] 中，作者提出了两个猜想：\ {\bf 猜想 1.} {\it 所有$m \not= 10$的交错群$A_m$均为 OD-可刻画的。} \ {\bf 猜想 2.} {\it 所有$m \not= 10$的对称群$S_m$均为$n$-重 OD-可刻画的，其中$n\in\{1, 3\}$。} 在本文中，我们找到了一些交错群和对称群，使得这些猜想对它们不成立。