168 阶和 360 阶单群的因子分解

一个有限群 $G$ 被称为 $k$-可因子分解的，如果对于任何满足 $a_i>1$ 的因子分解 $|G|=a_1\cdots a_k$，存在 $G$ 的子集 $A_i$ 满足 $|A_i|=a_i$ 使得 $G=A_1\cdots A_k$。我们称 $G$ 是\textit{多重可因子分解的}，如果 $G$ 对于任何可能的整数 $k\geq2$ 都是 $k$-可因子分解的。我们证明了 168 阶和 360 阶的单群是多重可因子分解的，并提出两个猜想：对于任意 $n$ 的对称群 $S_n$ 和对于 $n\geq6$ 的交错群 $A_n$ 都是多重可因子分解的。