半流代数：两个拓扑的故事

为捕捉动力系统的全局结构，我们根据适当构造的拓扑（称之为流拓扑）重新表述动力学；我们称此过程为拓扑化。这给出了半流在双拓扑空间下的描述，其中第一个拓扑对应于（相）空间，第二个对应于流拓扑。拓扑的研究可通过离散化便利进行，即定义并检查适当的有限子结构。对动力学进行拓扑化通过离散化相关的流拓扑为其离散化提供了优雅的解决方案。我们引入 Morse 预序，它是更一般的双拓扑离散化的一例，综合了空间与流拓扑，并编码了动力学的方向性。我们描述了如何以适当的（上）同调信息增强 Morse 预序，以描述动力学的不变性；这一整体给出了半流的代数化。本文主要要素的示例通过对离散抛物流理论的应用给出。代数化基于包含抛物流 Morse 理论信息的双分次微分模，为正辫给出了一个新的不变量。