多项式代数上的积分微分算子代数

我们证明多项式代数上的积分微分算子代数 $\mI_n:=K\langle x_1, ..., x_n, \frac{\der}{\der x_1},...,\frac{\der}{\der x_n}, \int_1, ..., \int_n\rangle$ 是一个素、中心、链式、自对偶、非 Noether 代数，其经典 Krull 维数为 $n$，Gelfand-Kirillov 维数为 $2n$。其弱同调维数为 $n$，且 $n\leq \gldim (\mI_n)\leq 2n$。$\mI_n$ 的所有理想均被显式求出，它们的数量有限（$\leq 2^{2^n}$），它们可交换（$\ga \gb = \gb\ga$）且是幂等理想（$\ga^2= \ga$）。$\mI_n$ 的理想数等于 Dedekind 数 $\gd_n$。对 $\mI_n$ 证明了 Hilbert 合冲定理的类似物。描述了代数 $\mI_n$ 的单位群（它是一个巨大的群）。为每个积分微分算子找到了标准型（通过证明代数 $\mI_n$ 是广义 Weyl 代数）。所有上述结果对 Jacobian 代数 $\mA_n$ 同样成立（但 $\GK (\mA_n) =3n$，注意 $\mI_n\subset \mA_n$）。证明了代数 $\mI_n$ 和 $\mA_n$ 是理想等价的。