范畴概率论中的 Aldous-Hoover 定理

Aldous-Hoover 定理涉及一个随机变量的无限矩阵,其分布在行和列的有限置换下保持不变。该定理指出,在分布相等的意义下,矩阵中的每个随机变量都可以表示为仅依赖于四个关键变量的函数:一个对整个矩阵共有的变量,一个编码其行信息的变量,一个编码其列信息的变量,以及一个特定于该矩阵条目的第四个变量。我们在概率论的范畴论方法(即 Markov 范畴理论)内陈述并证明了该定理。与基于测度论的方法相比,这使得证明更加透明和直观。一个新识别的范畴性质——Cauchy-Schwarz 公理——发挥了关键作用,它还促成了新的综合 de Finetti 定理。我们进一步提供了一种证明变体,使用了有序 Markov 性质和 d-分离准则,这两者均从 Bayesian 网络推广至 Markov 范畴。我们期望这种方法将促进未来更复杂结果的系统发展,例如层级可交换性的范畴论方法。