秩2初等群的交换化

对于任意环$A$，我们研究初等群$\textrm{E}_2(A)$的交换化。特别地，我们证明对于交换环$A$，存在一个正合序列$$K_2(2,A)/C(2,A) \to A/M \to \textrm{E}_2(A)^\textrm{ab} \to 1,$$其中$C(2,A)$是由Steinberg符号生成的Steinberg群$\textrm{St}(2,A)$的中心子群，$M$是由$x(a^2-1)$和$3(b+1)(c+1)$生成的$A$的加法子群，其中$x\in A$，$a,b,c \in A^{\times}$。