图的 (a,b,s,t)-直径：条件直径的一个特例

连通图 $\Gamma=(V,E)$ 的条件直径定义如下：给定图 $\Gamma$ 的一对子图 $(\Gamma_1, \Gamma_2)$ 的性质 ${\cal P}$，所谓的条件直径或 ${\cal P}$-直径度量满足 ${\cal P}$ 的子图之间的最大距离。即 $$D_{{\cal P}}(\Gamma):=\max_{\Gamma_1, \Gamma_2\subset \Gamma} \{\partial(\Gamma_1, \Gamma_2): \Gamma_1, \Gamma_2 \quad {\rm satisfy }\quad {\cal P}\}.$$ 本文考虑如下条件直径：${\cal P}$ 要求对某个整数 $1\le s,t\le |V|$ 与 $\delta \le \alpha, \beta \le \Delta$，所有 $u\in V(\Gamma_1)$ 满足 $\delta(u)\ge \alpha$，所有 $v\in V(\Gamma_2)$ 满足 $\delta(v)\ge \beta$，$| V(\Gamma_1)| \ge s$ 且 $| V(\Gamma_2)| \ge t$，其中 $\delta(x)$ 表示 $\Gamma$ 的顶点 $x$ 的度，$\delta$ 表示 $\Gamma$ 的最小度，$\Delta$ 表示最大度。所得条件直径称为 $(\alpha ,\beta, s,t)$-直径。我们利用关联加权图特征值网格上的 $k$-交错多项式给出了 $(\alpha ,\beta, s,t)$-直径的上界。该方法也为顶点分隔符等其他参数提供了界。