高秩情形中$L^2(\Gamma\backslash G)$的 temperedness 与正特征函数

令$G=\operatorname{SO}^\circ(n,1) \times \operatorname{SO}^\circ(n,1)$且$X={\mathbb H}^{n}\times {\mathbb H}^{n}$，$n\ge 2$。对于有限生成群$\Sigma$到$\operatorname{SO}^\circ(n,1)$的一对非初等凸紧表示$(\pi_1, \pi_2)$，令$\Gamma=(\pi_1\times \pi_2)(\Sigma)$。记$\Gamma\backslash X$上负Laplacian的$L^2$-谱底为$\lambda_0$，我们证明：(1) $L^2(\Gamma\backslash G)$是tempered的且$\lambda_0=\frac{1}{2}(n-1)^2$；(2) 在$L^2(\Gamma \backslash X)$中不存在正的Laplace特征函数。事实上，(1)-(2)的类似结论对至少两个秩一简单代数群乘积中的任意Anosov子群以及Hitchin子群$\Gamma<\operatorname{PSL}_d(\mathbb R)$（$d\ge 3$）也成立。此外，若$G$是秩至少为$2$的半单实代数群，则(2)对$G$的任意Anosov子群$\Gamma$成立。