$\tau$-倾斜理论通过射影模范范畴的单程态I：ICE闭合子范畴

本文旨在探索mod$\Lambda$中某些特定模范和子范畴。设$\mathrm{proj}\mbox{-}\Lambda$为所有 finitely generated 射影$\Lambda$-模范畴，定义$\\mathcal{P}(\\Lambda):=\\mathrm{Mor}(\\mathrm{proj}\mbox{-}\\Lambda)$。由于$\\mathcal{P}(\\Lambda)$具有良好的同 homological 属性，我们首先检查$\\mathcal{P}(\\Lambda)$的几个值得注意的对象和子范畴，随后将这些发现与${\\rm mod}\\Lambda$联系起来。我们证明了射影模范中tilting对象的集合与支撑$\tau$-倾斜$\Lambda$-模之间的双曲关系。这一双曲关系进一步暗示了具有特定直接分项的射影模范中的tilting对象与$\tau$-倾斜$\Lambda$-模之间的对应关系。我们在$\mathbb{K}^{b}({\\rm proj}\\mbox{-}\\Lambda)$中的两个项silting复合物与$\\mathcal{P}(\\Lambda)$中的tilting对象之间建立了双曲关系。随后，我们考察了$\\mathcal{P}(\\Lambda)$中的Image-Cokernel-Extension闭合（后者简称为ICE闭合）子范畴，证明了$\\mathcal{P}(\\Lambda)$中刚性对象的集合与具有足够Ext-射影模的$\\mathcal{P}(\\Lambda)$的ICE闭合子范畴之间的双曲关系。随后，我们提出了双曲关系，将$\\mathcal{P}(\\Lambda)$中具有特定直接分项的刚性对象、${\\rm mod}\\Lambda$中的$\tau$-刚性对，以及包含特殊对象且具有足够Ext-射影的$\\mathcal{P}(\\Lambda)$的ICE闭合子范畴联系起来。为了将ICE闭合子范畴从$\\mathcal{P}(\\Lambda)$传递到${\\rm mod}\\Lambda$，有必要引入相对于射影模的ICE闭合子范畴框架。