孤子层次的 Tau 函数与 Virasoro 作用

存在一种通用方法，通过将环路群分裂为正子群和负子群，并结合正 Lie 子代数中的交换线性无关序列，来构造孤子层次。许多已知的孤子层次均可由此构造。形式逆散射将负子群中的每个元素 $f$ 对应于该层次的一个解 $u_f$。当 Lie 代数存在一个在两个子代数上均为零的 2-上循环时，Wilson 为负子群中的每个元素 $f$ 构造了一个 tau 函数 $\tau_f$。在本文中，我们给出了 $\ln(\tau_f)$ 的变分及其二阶偏导数的积分公式，讨论了能否从 $\tau_f$ 恢复解 $u_f$，并给出了正半 Virasoro 代数对 tau 函数作用的通用构造。我们写出了关联 tau 函数、形式逆散射解以及 GL(n,\C)-层次的 Virasoro 向量场的公式。