随机差分方程平稳解的尾部行为：正则矩阵情形

给定一列独立同分布随机变量$(M_{n},Q_{n})_{n\ge 1}$，其典型副本为$(M,Q)$，其中$M$是正则的$d\times d$矩阵，$Q$取值于$\mathbb{R}^{d}$，我们考虑随机差分方程(RDE) $R_{n}=M_{n}R_{n-1}+Q_{n}$，$n\ge 1$。在适当假设下，该方程存在唯一的平稳解$R$，使得对于某个$\kappa>0$和$S^{d-1}:=\{x \in \mathbb{R}^{d}:|x|=1\}$上的某个有限正连续函数$K$，对所有$x \in S^{d-1}$有$\lim_{t \to \infty} t^{\kappa} P(xR>t)=K(x)$成立。该结果最初归功于Kesten和Le Page。本文旨在展示如何使用再生方法提供一个更简短的论证（特别是对于$K$的正性）。它基于Goldie隐式更新理论的多维推广。