Lane-Emden方程组作为初值问题、边值问题与四点边值问题及其Haar小波计算

本文提出Haar小波配置法，并求解如下一类Lane-Emden方程组：\begin{eqnarray*} -(t^{k_1} y'(t))'=t^{-\omega_1} f_1(t,y(t),z(t)),\\ -(t^{k_2} z'(t))'=t^{-\omega_2} f_2(t,y(t),z(t)), \end{eqnarray*} 其中 $t>0$，并满足初值、边值及四点边值条件：\begin{eqnarray*} \mbox{Initial Condition:}&&y(0)=\gamma_1,~y'(0)=0,~z(0)=\gamma_2,~z'(0)=0,\\ \mbox{Boundary Condition:}&&y'(0)=0,~y(1)=\delta_1,~z'(0)=0,~z(1)=\delta_2,\\ \mbox{Four~point~Boundary~Condition:}&&y(0)=0,~y(1)=n_1z(v_1),~z(0)=0,~z(1)=n_2y(v_2), \end{eqnarray*} 其中 $n_1$、$n_2$、$v_1$、$v_2$ $\in (0,1)$，且 $k_1\geq 0$、$k_2\geq0$、$\omega_1<1$、$\omega_2<1$ 为实常数。在初值问题与边值问题情形下，结果与精确解进行比较；在四点边值问题情形下，结果与其他方法进行比较。本文还建立了这些方法的收敛性，并发现其具有二阶收敛精度。我们观察到，当分辨率提高到 $J=4$ 时，初值问题与边值问题可得到精确值；对于四点边值问题，在 $J=4$ 时亦得到高精度解，例如 $L^\infty$ 误差量级为 $10^{-16}$ 或 $10^{-17}$。