格点上二阶 Kuramoto 模型的同步相变

二阶 Kuramoto 方程描述了具有惯性的耦合振子的同步现象，例如在电网中出现的情况。与一阶 Kuramoto 方程相比，其同步相变行为鲜为人知。在高斯自频率情况下，该相变是不连续的，与一阶 Kuramoto 方程的连续相变形成对比。本文研究了在大型二维和三维格点上的这一相变，并提供了混合相变的数值证据，即振子相位 $\theta_i$ 表现出渡越行为，而频率展宽在三维中表现出真正的相变。因此，预期频率的下临界维度为 $d_l^O=2$，而相位的下临界维度为 $d_l^R=4$，如同无质量情况。我们提供了临界指数的数值估计，发现在相位初始状态对齐的情况下，频率展宽按 $\sim t^{-d/2}$ 衰减，与线性近似一致。然而，在三维中，当 $\theta_i$ 初始随机分布时，我们发现更快的衰减，特征为 $\sim t^{-1.8(1)}$，这是由随机相位涨落引起的增强非线性所致。