辛格与 GKP 码——基于密码学格的简单随机化构造

我们从标准的短整数解格（SIS）以及环 SIS 和模 SIS 格（即 R-SIS 和 M-SIS 格）构造了好的 GKP（Gottesman-Kitaev-Preskill）码（按 Conrad、Eisert 和 Seifert 提出的意义）。这些格对于基于格的密码学至关重要。我们的构造产生了距离为 $\sqrt{n/\pi e}$ 的 GKP 码。这与 Conrad 等人提出的基于 NTRU 的构造（在 $n\le q^2/0.28$ 时达到距离 $\Omega(\sqrt{n/q})$）相比具有优势。与他们的码不同，我们的码没有可用于加速解码的密钥。然而，我们提出了一种简单的解码算法，在许多参数选择下，实验产生的解码结果与基于 NTRU 的码相似。使用 R-SIS 和 M-SIS 构造，我们的简单解码算法在近线性时间内运行。继 Conrad、Eisert 和 Seifert 的工作之后，我们对 GKP 码的构造直接源于辛格的显式随机化构造，其最小距离（至多差一个约为 $1$ 的常数）为 $(1/\sigma_{2n})^{1/2n}\approx \sqrt{\frac{n}{\pi e}}$，其中 $\sigma_{2n}$ 是 $2n$ 维单位球的体积。在此结果之前，Buser 和 Sarnak 给出了此类辛格存在性的非构造性证明。