C*-费米系统的对称态 II：克莱因变换及其结构

在本注记中——这是关于对称态集合研究工作的第二部分——我们在两个 $\bz^2$ 分次 $C^*$-代数的一般费米张量积上，在所涉及代数之一的分级为内分次的条件下，引入了克莱因变换的推广。在将构造推广到 $C^*$-归纳极限之后，这样一个克莱因变换实现了由两个 $\bz^2$-分次 $C^*$-代数构成的典范 $*$-同构：其中一个由无穷费米 $C^*$-张量积构成，另一个由单个 $\bz^2$-分次 $C^*$-代数的无穷 $C^*$-张量积构成，二者均相对于相应的最小 $C^*$-交叉范数而构造。它保持分级，且其转置将 $\ga_{\rm X}$ 上的偶积态映为 $\ga_{\rm F}$ 上的（必为偶的）积态，从而诱导出单形同构 $$\cs_\bp(\ga_{\rm F})=\cs_{\bp\times\bz^2}(\ga_{\rm F})\sim\cs_{\bp\times\bz^2}(\ga_{\rm X})\,,$$ 这使得 $C^*$-费米系统对称态结构的研究可归结为通常无穷 $C^*$-张量积上相应偶对称态的研究。费米代数上对称态的其他相关性质将在不使用克莱因变换的情况下予以证明。最后我们给出一个例子，其中这样的克莱因变换不可实现，仅仅是因为费米张量积并不生成通常的张量积。因此一般而言，费米代数上对称态的研究不能归结为通常无穷张量积上相应对称态的研究，即便二者具有许多共同性质。