抽象对称谱中的对称算子

本文在任意（本质上）模型范畴的对称谱中算子代数的抽象框架下，为导出代数几何、Goerss--Hopkins 障碍理论以及交换环谱的构造奠定了基础。我们证明了可以在抽象谱范畴中进行 à la To"en--Vezzosi 式的导出代数几何。我们还肯定地回答了 Goerss 和 Hopkins 提出的一个问题，表明谱中算子代数的障碍理论可以在任意（本质上）模型范畴的谱的普遍性下进行。我们构造了表示给定上同调理论的严格交换单纯环谱，并用一个表示 Deligne 上同调高阶乘积的严格交换动机环谱对此进行了说明。这些结果是通过首先为抽象谱建立 Smith 的稳定正模型结构，然后证明该谱范畴具有优良的模型论性质而获得的：我们证明了取值于对称幺半模型范畴的对称谱中的所有彩色对称算子都是容许的，即此类算子上的代数携带模型结构。这推广了单纯集或动机空间中交换环谱和 $E_\infty$ 环谱上已知的模型结构。我们还证明了谱中算子的任何弱等价都会引发其代数范畴的 Quillen 等价。例如，这将 $E_\infty$ 环到交换环的熟悉严格化扩展到了包括动机谱在内的一大类谱中。我们最后证明了 Quillen 等价谱范畴中的算子代数再次是 Quillen 等价的。