$I \times T^2$ 上的超对称指标、椭圆亏格与带边界的对偶

我们研究三维 $\mathcal{N}=2$ 超对称理论在 $I \times M_2$ 上，且在边界 $\partial (I \times M_2)=M_2 \sqcup M_2$ 处具有 2d $\mathcal{N}=(0,2)$ 边界条件，其中 $M_2=\mathbb{C}$ 或 $T^2$。我们引入三维 $\mathcal{N}=2$ 理论在 $I \times T^2$ 上的超对称指标，其耦合于两个边界处 2d $\mathcal{N}=(0,2)$ 理论的椭圆亏格。我们借助超对称局域化计算 $I \times T^2$ 指标，并研究 $I \times M_2$ 上的对偶。我们考虑将 $I \times T^2$ 维数约化至 $I \times S^1$，并得到 2d $\mathcal{N}=(2,2)$ 超对称指标在 $I \times S^1$ 上的局域化公式。我们基于规范线性 sigma 模型说明了开弦 Witten 指标的计算。$I \times S^1$ 上 Wilson 环的相关函数与几何相中的 Euler 配对一致，也与 Landau-Ginzburg 相中 Gepner 模型 B 型边界态的圆柱振幅一致。